鸡兔同笼问题

鸡兔同笼问题

在我国古代的数学著作《孙子算经》中，记载着流传甚广的数字歌谣：鸡兔同笼不知数，三十五头笼中露。数清脚共九十四双，各有多少鸡和兔。翻译成现代数学语言为：今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共有35个，鸡脚与兔脚一共有94只。问鸡和兔一共有多少只？

这就是我们通常说的“鸡兔同笼”问题。这一古老的数学问题在现实生活中普遍存在，解法多种多样，但一般采用假设法。

例  今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共有35个，鸡脚与兔脚一共有94只。问鸡和兔一共有多少只？

分析1：如果35只动物全是鸡，那么应该有35×2=70（只）脚，这比已知的94只脚少了24只脚。如果用一只兔换走一只鸡就增加了4－2=2（只）脚，要现在共多了24只脚，需要换走多少只鸡才能把差数补齐呢？显然 24÷2=12（只），要把12只鸡换成兔子，所以兔子有12只，鸡的只数就是35－12=23（只）。

解答1：假设全是鸡，那么

兔子的只数：（94－2×35）÷（4－2）

=（94－70）÷2

=24÷2

=12（只）

鸡的只数：35－12=23（只）

答：兔子有12只，鸡有23只。

分析2：由于鸡脚的只数是头的2倍，可以设想每只鸡有一只脚站立，每只兔子有2只脚站立，那么笼中一共有94÷2=47（只）脚，此时鸡头与鸡脚一一对应，2倍的兔头与兔脚一一对应。所以兔子的只数是47－35=12（只），鸡的只数就是35－12=23（只）。

解答2：兔子的只数：94÷2－35

=47－35

=12（只）

鸡的只数 ：35－12=23（只）

答：兔子有12只，鸡有23只。

分析3：还可以用方程解答，如果设鸡有X只，那么兔子有（35－X）只，依据题意可以列出方程。

解答3：设鸡有X只，那么兔子有（35－X）只，则

2X＋4（35－X）=94

140－2X=94

2 X=46

X=46÷2

X=23

35－X=35－23=12

答：兔子有12只，鸡有23只。

本题中解法一就是通常说的“假设法”；解法二是《孙子算经》中记载的方法，很巧妙、简单；解法三是代数方法，它对于解答小学数学应用题具有一般性。

下面对假设法做一简单总结，假设法就是在不知鸡、兔的只数时，假设已知，在进行对比、调整。

概括起来，鸡兔同笼的基本关系式是：

假设全是鸡时有：

①兔的只数=（实际的脚数－每只鸡的脚数×2）÷（每只兔子的脚数－每只鸡的脚数）

②鸡的只数=鸡兔的总数－兔子的只数

当然，也可以假设全是兔子。

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